Teorema de Tales
Qué es?
El teorema de Tales es un teorema fundamental de la geometría que establece que la razón entre los lados homólogos de dos triángulos semejantes es igual a la razón entre sus alturas.
En otras palabras:
Si dos triángulos son semejantes, entonces
la razón entre la longitud de cualquier lado de un triángulo y la longitud del
lado correspondiente del otro triángulo es la misma para todos los lados
homólogos.
Esta razón también es igual a la razón
entre las alturas de los dos triángulos.
Características
1. Proporcionalidad:
Establece una relación de proporcionalidad entre los lados homólogos (lados correspondientes) de dos triángulos semejantes. La razón entre los lados homólogos será igual para todos los pares de lados correspondientes.
2. Triángulos semejantes:
Solo se aplica a triángulos que son semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos correspondientes (aunque no necesariamente el mismo tamaño) o si sus lados son proporcionales.
3. Aplicable a cualquier lado y altura:
La razón de proporcionalidad no solo se aplica a los lados, sino también a las alturas de los triángulos. La razón entre las alturas también será igual a la razón entre los lados homólogos.
4. Independencia del tamaño:
El tamaño absoluto de los triángulos no afecta la validez del teorema. Independientemente del tamaño, la proporción entre los lados y las alturas de los triángulos semejantes se mantendrá.
5. Amplia aplicabilidad:
Se utiliza en una gran variedad de situaciones que involucran figuras geométricas proporcionales. Permite resolver problemas relacionados con distancias inaccesibles, escalas, áreas y ángulos en triángulos.
6. Base para otros teoremas:
El teorema de Tales sirve como base para otros teoremas de geometría, como la Teoría de las Proporciones de Tales y la Teoría de Intersecciones.
7. Sencillez e intuición:
Es un teorema relativamente sencillo de entender y aplicar, incluso para estudiantes que recién comienzan a estudiar geometría.
8. Universalidad:
Se aplica en cualquier
plano euclidiano bidimensional. No importa el sistema de unidades que se
utilice (centímetros, metros, pies, etc.), la relación de proporcionalidad se
mantiene.
Formula
H/h=S/s
Aplicacion en la Vida Cotidiana
1. Medición de alturas inaccesibles:
Altura de un edificio: Se puede calcular
midiendo la altura y la sombra de un objeto conocido (como un poste) y la
sombra del edificio.
Altura de un árbol: Se puede calcular
midiendo la altura y la sombra de una persona y la sombra del árbol.
2. Cálculo de distancias:
Distancia a un barco en el mar: Se puede
calcular midiendo el ángulo de elevación del barco desde dos puntos conocidos
en la costa.
Distancia a una montaña: Se puede calcular
midiendo el ángulo de elevación de la cima de la montaña desde dos puntos
conocidos en el valle.
3. Diseño y construcción:
Escalas: Se utiliza para dibujar planos a
escala, como mapas o planos de casas.
Puentes y estructuras: Se utiliza para
calcular las proporciones y la resistencia de estructuras como puentes,
edificios y torres.
4. Arte y fotografía:
Perspectiva: Se utiliza para crear la
ilusión de profundidad en dibujos y pinturas.
Composición: Se utiliza para determinar la
ubicación y el tamaño de los elementos en una fotografía o pintura.
5. Astronomía:
Tamaño de la Luna: Se puede calcular
midiendo el ángulo de la Luna en el cielo y comparándolo con el ángulo de un
objeto conocido, como un edificio.
Distancia a las estrellas: Se utiliza para
calcular la distancia a las estrellas mediante la trigonometría y la
comparación con estrellas de tamaño conocido.
6. Navegación:
Triangulación: Se utiliza para determinar
la posición de un barco en el mar midiendo los ángulos entre el barco y dos
puntos conocidos en la costa.
Orientación: Se utiliza para determinar la
dirección utilizando la posición del Sol o las estrellas.
7. Deportes:
Cálculo de la trayectoria de una pelota: Se
utiliza para calcular la trayectoria de una pelota en deportes como el fútbol,
el béisbol o el baloncesto.
Diseño de campos de juego: Se utiliza para
determinar las dimensiones y la forma de campos de juego como campos de fútbol
o canchas de baloncesto.
Ejercicios Propuestos
Ejercicio 1:
Un edificio tiene una altura de 50 metros y proyecta una sombra de 30 metros. Un poste de 2 metros de altura, ubicado al lado del edificio proyecta una sombra de valor desconocido. Cuanto mide la sombra del poste?
Ejercicio 2:
Un árbol proyecta una sombra de 15 metros al mismo tiempo que un poste de 3 metros de altura proyecta una sombra de 4 metros. ¿Cuál es la altura del árbol?
Ejercicio 3:
Una persona mide 1,75 metros y proyecta una sombra de 3 metros, a la misma hora hay un edificio que proyecta una sombra de 300 metros. Cuanto mide el edificio?
Ejercicio 4:
Dos postes de diferentes alturas se encuentran, el mas alto mide 12 metros La sombra del poste más alto mide 8 metros, mientras que la sombra del poste más bajo mide 5 metros. ¿Cuál es la altura del poste mas corto?
Ejercicio 5:
Un árbol de 4 metros de altura proyecta una sombra de 3 metros y al lado tiene una flor que proyecta una sombre de 0.20 metros. Cuanto mide la flor?
Ejercicio 6:
Ejercicio 7:
Una bandera triangular tiene una sombra de 2 metros y una altura de 3 metros. Se desea colocar la bandera en un mástil de tal manera que la sombra de la bandera sea de 6 metros. ¿Cuál debe ser la altura del mástil?
Ejercicio 8:
Un niño de 1.2 metros de altura observa una estatua que proyecta una sombra de 10 metros. Si la sombra del niño es de 2 metros , ¿cuál es la altura de la estatua?
Ejercicio 9:
Un escalador de 1.8 metros de altura proyecta una sombra de 3 metros desea escalar una montaña que proyecta una sombra de 800 metros. Cuantos metros debe escalar el escalador?
Ejercicio 10:
En 2001 un turista desea saber la altura de las torres gemelas de New York, la mas alta media 750 metros y proyectaba una sombra de 300 metros, la otra proyectaba una sombra de 250 metros. Cuanto media la torre otra torre?
Ejercicios Resueltos
4.
5.
6.
