PROF.LUIS MANUEL

Teorema de Euclides

Que es?

En todo triángulo rectángulo, cuando se traza una recta que representa a la altura que corresponde al vértice del ángulo recto con respecto a la hipotenusa se forman dos triángulos rectángulos a partir del original. Estos triángulos serán semejantes entre sí y también serán semejantes con el triángulo original. Euclides establece las proporciones de estos a partir de dos teoremas: Teorema de la altura y Teorema de los catetos.

Características

Formación de Triángulos:

En un triángulo rectángulo, cuando trazas una línea desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa, divides el triángulo original en dos nuevos triángulos rectángulos. Estos dos nuevos triángulos son semejantes entre sí y también son semejantes al triángulo original.

Semejanza de Triángulos:

Los ángulos de los tres triángulos son congruentes, lo que significa que si rotas un triángulo 180 grados sobre su vértice, un ángulo coincidirá con el otro. Esto implica que todos los ángulos serán iguales, verificando así la semejanza entre los tres triángulos.

Teorema de la Altura:

Este teorema establece que en cualquier triángulo rectángulo, la altura trazada desde el ángulo recto con respecto a la hipotenusa es la media proporcional geométrica entre las proyecciones de los catetos que determina sobre la hipotenusa. Es decir, el cuadrado de la altura será igual a la multiplicación de los catetos proyectados que forman la hipotenusa.

Teorema referente a los Catetos:

El Teorema de Euclides referido al cateto establece que en todo triángulo rectángulo, cada cateto es proporcional geométricamente al cuadrado de la hipotenusa y a su proyección sobre ella. Esto significa que si conocemos la longitud de uno de los catetos y la hipotenusa, podemos utilizar este teorema para calcular la longitud del otro cateto.

Aplicaciones:

Este teorema tiene una amplia aplicación en diversas áreas que se basan en la matemática, como ingeniería, física, química y astronomía, entre muchas otras áreas.

Formulas:

Teorema de la Altura:

hc²= p.q

Teorema de los Catetos:

a²= c . p
b²= c . q

Aplicacion en la vida cotidiana:

^{Este teorema fue utilizado para
calcular alturas, cuando no exisitian grandes avances, siendo base de la
trigonometría. Siempre que se hallaba un obstáculo (rio, quebrada,montaña) se
utilizaba este teorema.}

Ejercios Propuestos

1. q = 3 m.; c = 5 m.; b = ?

2. p = 10 cm.; q = 6 cm.; hc= ?

3. p = 26 cm.; c = 59 cm.; hc = ?

4. c = 17 cm.; p = 7 cm.; b = ?

5. La longitud desde la escalera de un tobogán y su soporte es de 3 metros y desde el soporte hasta el final del tobogán hay una distancia de 5 metros. Cual es la altura del tobogán?

6. Un poste de transito mide 7 metros de alto y cada letrero que tiene arriba miden 2 metros. Cuanta es la distancia entre uno de los carteles del poste hasta su inicio?

7. Si cortamos simétricamente la torre eifell en dos partes, nos da que cada lado de su base mide 75 metros. Por lo tanto cuanto es su altura

8. Un poste de luz mide 4 metros de alto y por cada lado emite luz hasta unos 5 metros por cada de sus lados. Desde la punta del poste hasta donde llega su luz, cuanta distancia hay?

9. Un avión de papel visto desde arriba se puede observar que tiene una altura de 15 cm, pero al doblarlo lo hicieron mal porque una parte trasera suya mide 4 cm y la otra 6 cm. Cuanto medirá cada lado del avión?

10. Una linterna emita una luz que al golpear una pared se puede ver que abarca unos 4 metros y que desde la linterna hasta cada extremo de donde llega la luz hay 3 metros. Por lo tanto si dividimos lo que abarca la luz al golpear la pared, cuanto medirá cada parte?