Teorema de Pitágoras
Qué es?
El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados.Se expresa como:
a^2 + b^2 = c^2
Donde "a" y "b" son las longitudes de los catetos y "c" es la longitud de la hipotenusa. Este teorema es fundamental en la geometría y tiene numerosas aplicaciones en la resolución de problemas geométricos y en otras ramas de las matemáticas y la física.
Características
- Enunciado:
El teorema establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados (los catetos). Matemáticamente, esto se expresa como: a^2 + b^2 = c^2, donde "a" y "b" son las longitudes de los catetos y "c" es la longitud de la hipotenusa.
- Validez universal:
El teorema de Pitágoras es válido para cualquier triángulo rectángulo, independientemente de las dimensiones o proporciones de sus lados. Esto lo convierte en un principio geométrico universal.
- Aplicaciones prácticas:
El teorema de Pitágoras tiene numerosas aplicaciones en matemáticas, física, ingeniería y otras disciplinas. Se utiliza para resolver problemas geométricos, calcular distancias, determinar ángulos, y en el diseño y análisis de estructuras y circuitos, entre otros usos.
Formulas
- 𝑐^2=𝑎^2+𝑏^2
Esta es la formula no despejada que viene junto al teorema donde "c" es la hipotenusa y "a" y "b" los catetos
- 𝑐=√(𝑎^2+𝑏^2 )
Esta es la formula ya despejada empleada para sacar la hipotenusa del triangulo rectángulo, donde "c" es la longitud de la hipotenusa a hallar y, "a" y "b" son las longitudes de los catetos con valores ya definidos.
- 𝑎^2=𝑐^2−𝑏^2
Esta es la formula despejada empleada para sacar el valor de un cateto, donde "a" es la longitud del cateto a hallar y, donde "c" es el valor de la hipotenusa ya definido y "b" es el valor del cateto ya definido.
Aplicación en la vida cotidiana
El Teorema de Pitágoras, una de las ideas matemáticas más antiguas y conocidas, se aplica en una amplia variedad de situaciones en la vida diaria. Algunos ejemplos son:
1. Medición de distancias:
Escaleras: Si necesitas calcular la longitud total de una escalera, puedes usar el teorema para determinar la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma con la altura y la profundidad de cada escalón.
Navegación: En la navegación marítima o aérea, el teorema se utiliza para calcular la distancia entre dos puntos cuando no es posible seguir una línea recta.
Deportes: En deportes como el fútbol o el baloncesto, se puede calcular la distancia recorrida por un jugador en una trayectoria diagonal.
2. Construcción:
Cálculo de alturas: El teorema se utiliza para determinar la altura de edificios, torres, postes o cualquier otra estructura vertical.
Diseño de estructuras: Permite calcular la longitud de vigas, diagonales y otros elementos estructurales en techos, puentes o cualquier otra construcción.
Carpintería: Se utiliza para determinar la longitud de las diagonales en marcos de puertas, ventanas o cualquier otra estructura rectangular.
3. Diseño y decoración:
Colocación de azulejos: El teorema ayuda a determinar la cantidad de azulejos necesarios para cubrir una superficie rectangular, especialmente si se necesitan cortes diagonales.
Diseño de muebles: Se utiliza para calcular las dimensiones de piezas con formas triangulares o para determinar la inclinación de respaldos o patas.
Colgar cuadros: Permite determinar la longitud ideal del cable para que un cuadro quede colgado a la altura deseada.
Ejercicios
Ejercicio 1:
En un triángulo rectángulo, la longitud de un cateto es 5 cm y la longitud de la hipotenusa es 13 cm. ¿Cuál es la longitud del otro cateto?
Ejercicio 2:
Un triángulo rectángulo tiene un cateto de longitud 8 m y la hipotenusa mide 17 m. ¿Cuánto mide el otro cateto?
Ejercicio 3:
Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de longitud 25 cm y un cateto de longitud 15 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?
Ejercicio 4:
La longitud de un cateto en un triángulo rectángulo es 12 m y la longitud del otro cateto es 5 m. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
Ejercicio 5:
Un hombre quiere construir una rampa para su garaje. La altura desde el suelo hasta el punto de entrada al garaje es de 2 metros, y la distancia desde la base de la rampa hasta el punto de entrada es de 5 metros. ¿Cuál debe ser la longitud de la rampa?
Ejercicio 6:
Una persona está instalando una cerca en su jardín. Quiere asegurarse de que la cerca forme un ángulo recto con la pared de su casa. Si la pared de la casa mide 6 metros y la cerca debe comenzar a 8 metros de la esquina de la casa, ¿cuánto debe medir la cerca?
Ejercicio 7:
Una escalera de mano se apoya contra una pared y llega hasta una altura de 3 metros en la pared. Si la base de la escalera está a 1 metro de distancia de la pared, ¿cuál es la longitud de la escalera?
Ejercicio 8:
Un globo aerostático se eleva verticalmente desde el suelo. Después de 5 minutos, se encuentra a una altura de 100 metros. ¿A qué velocidad se está elevando el globo aerostático?
Ejercicio 9:
Un poste de luz tiene una altura de 5 metros. Si una sombra proyectada por el poste tiene una longitud de 8 metros, ¿a qué distancia está el extremo de la sombra del poste?
Ejercicio 10:
Un agricultor quiere construir un sistema de riego automático en su campo. Si el campo tiene forma rectangular y mide 40 metros de largo y 30 metros de ancho, ¿cuánto cable necesitará para enterrarlo alrededor del campo y conectar todos los aspersores?
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1:
Un triangulo tiene un cateto con una longitud de 10 cm y otro mas con 15 cm de longitud. Determine la longitud de la hipotenusa.
R: Primero debemos analizar y nombrar los catetos y a la hipotenusa, vamos a nombrar al cateto menor como "a", al cateto mayor como "b" y a la hipotenusa como "c". En este problema debemos hallar la incógnita "c" para eso vamos a tener que remplazar los valores dados en el enunciado con las variables en la formula ya despejada, por lo tanto todo va a quedar como que "c" es igual a la raíz cuadrada de la suma de 10 cm al cuadrado y 15 cm al cuadrado. Después de resolver vamos a quedar con que "c" es igual a la raíz cuadrada de 100 cm cuadrados mas 225 cm cuadrados, posteriormente con que "c" es igual a la raíz cuadrada de 325 cm cuadrados, finalmente solo queda eliminar la raíz y nos queda que "c" es igual a 18,02 cm. Esta es el procedimiento empleado a la hora de querer buscar la longitud de la hipotenusa.
Ejercicio 2:
Un triangulo rectángulo tiene una hipotenusa con una longitud de 30 m y un cateto de 15 m de longitud.
Cuál es la longitud del otro cateto?
R: Para resolver este ejercicio vamos a empezar igual que el anterior, nombrando y analizando. Lo diferente de este problema es el hecho de que debemos buscar el valor de un cateto, por lo tanto en este caso debemos hacer uso de la formula para hallar catetos. Al igual que el anterior debemos reemplazar los valores dados en el enunciado con las variables de la formula. Con todo eso ya hecho vamos a quedar con que "a" al cuadrado es igual a la resta de 30 m al cuadrado y 15 m al cuadrado. Después de resolver los cuadrados vamos a quedar con que "a" al cuadrado es igual a 900 m al cuadrado menos 225 metros al cuadrado, posteriormente con que "a" al cuadrado es igual a 675 m al cuadrado, para finalizar solo nos queda pasar el cuadrado de "a" al otro lado de la igualdad como una raíz, entonces va a quedar como que "a" es igual a la raíz cuadrada de 625 metros cuadrados que eso mismo es igual a 25,98 m
Ejercicio 3
Un cuadrado es cortado a la mitad desde su esquina superior izquierda hasta su esquina inferior derecha, si un lado del cuadrado mide 10 cm. Cuanta es la longitud de la hipotenusa?
R: Para resolver primero este ejercicio debemos de entender que todos los lados de un cuadrado son iguales por lo tanto la longitud de 10 cm aplica para los dos catetos, después de tener esto claro ahora solo hace falta hacer el procedimiento. Primero nombramos e intercambiamos valores, lo que nos dejaría que "c" es igual a la raíz cuadrada de 10 cm al cuadrado mas 10 cm al cuadrado. Después solo queda resolver algebraicamente, por lo tanto vamos a tener primero que "c" es igual a la raíz cuadrada de 100 cm cuadrados mas 100 cm cuadrados que eso seria igual a la raíz cuadrada de 200 cm cuadrados que como resultado final nos daría que longitud de la hipotenusa es de 14,14 cm.
Ejercicio 4:
Si tenemos un triangulo equilatero de lados de 15 cm cada uno y este mismo lo dividimos a la mitad. Cuanta seria la altura o cateto mayor de este?
R: Para lograr resolver este ejercicio de forma eficaz debemos primero tener que entender que si un triangulo equilatero que tiene todos sus lados iguales, lo cortamos a la mitad la base o cateto menor va a ser reducido hasta la mitad su longitud , en este ejercicio sabemos que la base original es de 15 cm pero si esta es cortada a la mitad nos daría que la base después de ser cortada a la mitad tiene una longitud de 7,5 cm, después de esto ahora solo tenemos que resolver como cualquier otro ejercicio para sacar catetos, por lo tanto sabemos que "a" al cuadrado es igual 15 cm al cuadrado menos 7,5 cm al cuadrado, que a la hora de resolver pasaría a darnos que "a" al cuadrado es igual a 225 cm cuadrados menos 56,25 cm cuadrados que después de pasar la raíz nos daría que "a" es igual a la raíz cuadrada de 168,75 cm cuadrados que como resultado final nos da que el cateto tiene una longitud de 12,99 cm.
Ejercicio 5:
Si un Dorito que casualmente tiene un angulo de 90 grados, tiene un cateto que mide 10 mm y otro que mide 20 mm. Cuanto mide el lado opuesto al angulo de 90 grados?
En este tipo de ejercicios aplicados a la vida cotidiana solo hay que verlos como ejercicios normales, para esto solo tenemos que analizar bien lo mencionado en el enunciado para poder nombrar e intercambiar valores. Al realizar todo esto sabemos que "c" es igual a la raíz cuadrada de 10 mm al cuadrado mas 20 mm al cuadrado, luego de resolver nos da que "c" es igual a la raíz cuadrada de 100 mm cuadrados mas 400 mm cuadrados, que después de realizar la suma de los catetos nos da que "c" es igual a la raíz cuadrada de 500 mm cuadrados y que como resultado final nos una longitud de 22,36 mm para la hipotenusa.
Ejercicio 6:
Si para subir un tobogán hay que subir una escalera de 60 cm y su recorrido es de 100 cm. Cual es la distancia entre la escalera y el final del tobogán?
En este ejercicio nos piden buscar un cateto por lo tanto vamos a usar la formula "b" al cuadrado es igual a la diferencia de la hipotenusa "c" y el cateto "a". Primero tenemos que remplazar y nos va a quedar que "b" al cuadrado es igual 100 cm al cuadrado menos 60 cm al cuadrado, después de sacar los cuadrados nos va dar que "b" al cuadrado es igual 10000 cm cuadrados menos 3600 cm cuadrados, luego de resolver algebraica mente nos va a dar que "b" es igual a la raíz cuadrada de 6400 cm cuadrados que a su vez nos da que es igual a 80 cm. Por lo tanto sabemos que la distancia entre la escalera y el fin del tobogán es igual a 80 cm.
Ejercicio 7:
Si en un cuarto en el que todas las paredes miden 6 metros. Cuanto medirá el cuarto de una esquina a otra?
Para este ejercicio utilizaremos la formula despejada que es "c" es igual a la raíz cuadrada de la sumatoria de los cuadrados de los catetos "a" y "b", al reemplazar nos queda que "a" es igual a 6 m al cuadrado y "b" es igual a 6 m al cuadrado. Después de sacar los cuadrados nos da que "c" es igual a la raíz cuadrada de 36 m cuadrados mas 36 m cuadrados que a su vez nos da que esta suma es igual a 72 m cuadrados, que a la hora de sacar su raíz nos da que "c" es igual a 8,48 m
Ejercicio 8:
Mi teléfono tiene un ancho de 7 cm y un largo de 17 cm. Cuanto sera el largo de mi teléfono si lo divido a la mitad diagonal mente de un esquina a otra?
Para este ejercicio utilizaremos la formula despejada que es "c" es igual a la raíz cuadrada de la sumatoria de los cuadrados de los catetos "a" y "b", al reemplazar nos queda que "a" es igual a 7 cm al cuadrado y "b" es igual a 17 cm al cuadrado. Después de sacar los cuadrados nos da que "c" es igual a la raíz cuadrada de 49 cm cuadrados mas 289 cm cuadrados que a su vez nos da que la suma de los catetos es igual a 338 cm cuadrados, que luego de sacar su raíz nos da que "c" es igual a 18,38 cm. Por lo tanto sabemos que el largo de mi teléfono de esquina a esquina es igual a 18,38 cm.
Ejercicio 9:
Mi perro sentado tiene una altura de 30 cm y un largo de 20 cm. Cuanto mide su espalda?
Para este ejercicio utilizaremos la formula despejada que es "c" es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos, que al reemplazar nos queda que "a" es igual a 30 cm al cuadrado y "b" es igual a 20 cm al cuadrado. Después de sacar los cuadrados nos da que "c" es igual a la raíz cuadrada de 900 cm cuadrados mas 400 cm cuadrados que a su vez nos da que la suma de los catetos es igual a 1300 cm cuadrados, que luego de sacar su raíz nos da que "c" es igual a 36,05 cm. Por lo tanto sabemos que la espalda de mi perro es igual a 36,05 cm.
Ejercicio 10:
En escalera de mi casa para subir al segundo piso hay que subir unos 5 m y tiene una altura de 3 metros. Cuanto de largo ocupara la escalera en el piso de abajo?
En este ejercicio nos piden buscar un cateto por lo tanto vamos a usar la formula "b" al cuadrado es igual a la resta de la hipotenusa "c" y el cateto "a". Primero tenemos que remplazar y despejar que nos va a quedar que "b" es igual a la raíz de 5 m al cuadrado menos 3 m al cuadrado, después de sacar los cuadrados nos va dar que "b" es igual a la raíz de 25 m cuadrados menos 9 m cuadrados, luego de resolver algebraica mente nos va a dar que "b" es igual a la raíz cuadrada de 16 m cuadrados que a su vez nos da que "b" es igual a 4 m. Por lo tanto sabemos que lo que ocupa la escalera en el piso de abajo es de 4 m.
